Aljabar Linier (Matriks - Determinan)

Matriks dan Operasi – Operasinya

Definisi :

Matriks adalah susunan segi empat siku – siku dari bilangan yang dibatasi dengan tanda kurung. Suatu matriks tersusun atas baris dan kolom, jika matriks tersusun atas m baris dan n kolom maka dikatakan matriks tersebut berukuran (berordo) m x n. Penulisan  matriks biasanya menggunakan huruf  besar  A, B, C dan seterusnya, sedangkan penulisan matriks beserta ukurannya (matriks dengan  m baris dan n kolom) adalah Amxn, Bmxn dan seterusnya.

Bentuk umum dari Amxn adalah :

amn disebut elemen dari A yang terletak pada baris m dan kolom n.

Ordo Matriks :

Ordo (ukuran) matriks adalah jumlah baris dan jumlah kolom dari matriks. Matriks A = (aij), di mana jumlah barisnya ada m baris dan jumlah kolomnya ada n kolom yang disebut berordo : (m x n)

Contoh :

Berturut-turut berordo : 1x3 ; 3x1 ; 3x3 ; 3x5

Dua buah matriks A = (aij) dan B = (bij) dikatakan sama (A = B) bila ukurannya sama dan berlaku aij = bij untuk setiap i dan j (i = 1, 2, ... m ; j = 1, 2, ... n).

Jenis-jenis Matriks :

Ada beberapa jenis matriks yang perlu diketahui dan sering digunakan pada pembahasan selanjutnya, yaitu :

A. Matriks Bujur Sangkar

Matriks bujur sangkar adalah matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah kolomnya. Karena sifatnya yang demikian ini, dalam matriks bujur sangkar dikenal istilah elemen diagonal yang berjumlah n untuk matriks bujur sangkar yang berukuran nxn, yaitu : a11, a22, …, ann.

Contoh :

B. Matriks Segitiga

Matriks segitiga adalah matriks bujur sangkar yang elemen – elemen dibawah atau diatas elemen diagonal bernilai nol. Jika yang bernilai nol adalah elemen – elemen dibawah  elemen diagonal maka disebut matriks segitiga atas , sebaliknya disebut matriks segitiga bawah. Dalam hal ini, juga tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus bernilai tak nol.

Contoh :

C. Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks yang elemen  bukan diagonalnya bernilai nol. Dalam hal ini tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus tak nol.

Contoh :

D. Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks diagonal yang elemen diagonalnya bernilai 1.

Contoh :

E. Matriks Skalar

Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang semua elemennya bernilai sama tetapi bukan 0 atau 1.

Contoh :

F. Matriks Nol 

Matriks Nol adalah matriks yang semua elemennya bernilai Nol.

Contoh :

G. Matriks Invers

Matriks Invers / Invers matriks dapat diartikan sebagai kebalikan dari suatu matriks tertentu. Jika suatu matriks bujur sangkar dikalikan terhadap inversnya yaitu matriks bujur sangkar maka menghasilkan matriks I (matriks identitas pada operasi perkalian matriks). Jika pada penjumlahan dua matriks, jumlah dua matriks bujur sangkar dan akan menghasilkan matriks nol (matriks identitas pada operasi penjumlahan matriks).

Contoh :

H. Matriks Simetris

Matriks Simetris adalah matriks bujur sangkar yang elemennya simetris secara diagonal dan dapat juga dikatakan bahwa matriks simetris adalah matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri.

Contoh :

Operasi Matriks :

A. Penjumlahan Matriks

Operasi penjumlahan dapat dilakukan pada dua buah matriks yang memiliki ukuran yang sama. Aturan penjumlahan Dengan menjumlahkan elemen – elemen yang bersesuaian pada kedua matriks.

Contoh :

B. Pengurangan Matriks

Operasi pengurangan dapat dilakukan pada dua buah matriks yang memiliki ukuran yang sama. Aturan pengurangan Dengan mengurangkan elemen – elemen yang bersesuaian pada kedua matriks.

Contoh :

C. Perkalian Matriks dengan Matriks

Operasi perkalian matriks dapat dilakukan pada dua buah matriks ( A dan B) jika jumlah kolom matriks A = jumlah baris matriks B.

Aturan perkalian :

Misalkan Amn dan Bnk maka Amn Bnk = Cmk dimana elemen–elemen dari C( cij) merupakan penjumlahan dari perkalian elemen–elemen  A baris i dengan elemen– elemen B kolom j.

Contoh :

Contoh Perkalian Matriks Ordo 3x3 :

D. Perkalian Matriks dengan Saklar

Suatu matriks dapat dikalikan suatu skalar k dengan aturan tiap –tiap elemen pada A dikalikan dengan k.

Contoh :

E. Transpose Matriks

Transpose matriks A (dinotasikan At) didefinisikan sebagai matriks yang baris–barisnya merupakan kolom dari A.

Contoh :

F. Trace Matriks

Misal A = dengan i = 1, 2, 3, …, Dan j= 1, 2, ..., Maka Trase matriks A didefinisikan sebagai syarat matriks bujur sangkar dan sebagai aturan penjumlahan semua elemen diagonal utama.

Contoh :

Sifat-sifat Operasi Matriks :

1. A + B = B + A                       (Sifat Komutatif)
2. (A+B)+C = A+ (B+C)           (Sifat Asosiatif)
3. A + 0 = 0 + A = A                  (Sifat Matriks 0, Identitas Penjumlahan)
4. A + (-A) = - A + A = 0           (Sifat Negatif Matriks)
5. K(A+B) = kA +IA                 (Sifat Distributif)
6. (kI)A = k(IA)                         (Sifat Asosiatif)
7. IA = A                                    (Sifat Perkalian)
8. AB ≠ BA                                (Perkalian Matriks tidak berlaku sifat Komutatif)

Jenis-jenis Matriks Khusus :

A. Matriks Idempoten

AA = A² = A                           (A = Matrix Bujur Sangkar)

B. Matriks Periodik

AAA….A = A^p = A                (Dengan Periode p-1)

C. Matriks Nilpoten

A^r = 0 ; Nilpoten dengan Index r (Integer terkecil)

Contoh Matriks A Nilpoten dengan index = 3 :

Transformasi Elementer :

A. Penukaran tempat Baris atau Kolom

a)     Baris ke-i dan baris ke-j, ditulis H_ij(A)

b)     Kolom ke-i dan kolom ke-j, ditulis K_ij(A)

B. Mengalikan Baris atau Kolom dengan Skalar 1

a)     Baris ke-i dengan Skalar l ¹ 0 ® H_i^(l)(A)

b)     Kolom ke-i dengan Skalar l ¹ 0 ® K_i^(l)(A)

C. Menambah Baris atau Kolom dengan 1 kali Baris atau Kolom

a)     Baris ke-i dng l kali baris ke-j, H_ij^(l)(A)

b)     Kolom ke-i dng l kali kolom ke-j, K_ij^(l)(A)

Contoh Transformasi Elementer :

A. Penukaran Baris atau Kolom

B. Mengalikan Baris atau Kolom dengan Skalar

C. Menambah Baris ke-i dengan Skalar kali Baris ke-j

D. Menambah Kolom ke-i dengan Skalar kali Kolom ke-j

Determinan

Definisi :

Determinan adalah suatu bilangan real yang diperoleh dari suatu proses dengan aturan tertentu terhadap matriks bujur sangkar. Determinan dinyatakan sebagai jumlah semua hasil kali dasar bertanda dari matriks bujur sangkar A. Determinan dari sebuah matriks bujur sangkar A, dinotasikan dengan det(A), atau |A|.

Cara Menentukan Nilai Determinan :

A. Menentukan nilai Determinan Matriks berordo 2x2

B. Menentukan nilai Determinan Matriks berordo 3x3 dengan aturan Sarrus